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抽样调查(3)以偏概全(Survey sampling-3.

发表于 2020-07-11 | 收藏626 |


连结:抽样调查(2)随机现象

如前所述,取样的目的,是为了收集资讯,以做为决策之依据。除非是专制的帝王,或刚愎自用者,否则一般人是不排斥取样以获得可供参考的资讯。广义来说,人们经常在做取样的工作。有些人偏爱枕边细语、亲信或大老的话,认为那是最该採纳的意见。

各级民意代表、人民团体的理监事、学生自治会的干部等,这类通常是经由普选产生的“代议士”,各自代表某些特定团体表示意见。这当然是枕边人、亲信及大老等型式人物的转换,是民主社会里广被接受的一种制度。

代议士的意见,有时与大众的意见会有落差。问这是一群特殊的人,并非对每件事物的看法,均与普遍大众的看法相契合。因此有时要跳过他们,直接诉诸民意。但如第1节所述,很多时候普查并不容易做,只能从母体中取一些样本做为代表。报上的读者投书版,电视台及广播电台的扣应(call in)节目,都是获取样本的管道。当然你也立刻看得出来,这种样本有时是有偏差的,无法过份依赖。

某机构负责考题的研发,找学生测试,以了解某届考生的能力究竟如何。为了简便,先依学生程度,大致将全国学校分绞,然后每级学校各挑一所(或若干所)测试。这样取得的样本,是否真能做为全国学生能力分布的依据呢?稍想一下,你大约会说不尽然,因这种分级可能有些粗糙,而且同一所学校,学生程度差异有时也蛮大的。

抽样调查的精神,简单讲就是以偏概全,以小样本来了解母体。即从抽取的样本,对母体做推论(inference)。买水果时,嚐一粒葡萄,便据此判断整批葡萄的风味。碰到某一高中的几位学生,由他们的行为,便推断该校校风大概如何。生活上,我们可说常在做这类以偏概全的事。有时準确,有时误判。一般而言,除非母体内的元素变异不大,否则取样要有代表性,且样本数要够多,否则样本与母体的差异可能很大,所做的推论,也就会令人存疑。以偏概全,有如以管窥豹,可能只见“一斑”,也有可能见到的是“一般”。 即“管”也可有如显微镜,将全豹看得很清楚。

藉助机率理论,统计学家已发展出不少常用的抽样方法。事先若有充分的準备,如收集到正确的底册,良好的问卷设计,精準的抽样计画,都有于提高抽样调查结果之可靠性。只是有时限于时间,及成本的考量,不得不有一些权宜的作法。如何取样,使所获结果更具参考价值,乃抽样调查中一重要的课题。

样本与母体有时差异不大,有时则会有很大的差异。我们看底下几个例子。

例1. 被估计一袋中红球所佔的比例。假设袋中的球,其形状与重量皆相同。先将袋中的球搅和均匀,然后“随机”取 $${n}$$ 个球,每次取出后不放回。只要 $${n}$$ 够大,样本与母体的差异便可能不太大。设此 $${n}$$ 球中,红球有 $${a}$$ 个,则 $$\frac{a}{n}$$ 便是全袋中红球所佔的比例之一很好的估计量(estimator)。

上例中我们提到“随机”取 $${n}$$ 个球,事实上“随机取样”有一些不同意义。直观而言,随机取 $${n}$$ 个球,每次取出后不放回,其中的随机有“均匀”的想法。即样本(所取出的球)中红球所佔比例,与母体(全袋中的球)中红球所佔比例应接近。这种利用“均匀”的概念,以小看大,应用广泛。

例2. 有时你会看到某种动物只剩多少头的报导,这是如何算出的?经由“计数法”,也就是捕捉若干头,做记号后放走,经过一 时间,看再捉到的该种动物中,有几头有做记号,并求出比例。依此比例可求出该种动物现存几头之估计值。

例如,自某鱼池中抓取 $$100$$ 条鱼,做记号后放回。数日后又抓了 $$80$$ 条鱼,并发现其中有 $$2$$ 条有记号。设鱼池中有 $$N$$ 条鱼,由式

$${\displaystyle\frac{2}{80} = \frac{100}{n}}$$ ,

解出 $${N}$$ 为 $$4,000$$。即估计鱼池中有 $$4,000$$ 条鱼。

与例1比较,本例中的估计法有时可能会有不小误差,问为鱼的出现,并无法像球一样,较易维持均匀性。譬如说曾被捕捉过的鱼,可能变得更机灵(或问被捕捉受伤而行动迟缓),因此不太容易(或更容易)再度被捕捉。而且有些鱼可能较常出现,有些鱼性爱隐藏。此时,这种估计法,使可能造成很大的误差。甚至若两次捕捉隔的时间过久,池中鱼的数目变化可能也会很大。

例3. 要量测灯泡寿命,取几个来测试。若灯泡的品质差异不大,则这种由样本来推估母体,误差不会过大。但若灯泡的品质差异很大,则如何抽取样本,便不可轻为之。

调查若与人有关,那将更不容易做。人会改变想法,不见得会与调查者合作,而且不同群体的人,想法差异更是很大。我们来看底下一实例。

2002年11月,英国广播公司(BBC),对英国境内的 $$100$$ 万听众与观众调查,票选出第二次世界大战期间,领导英国赢得对德国纳粹战争的首相邱吉尔,为最伟大的英国人,他总共获得 $$44.7$$ 万票。隔年8月,又对全球调查。结果邱吉尔的得票为 $$16\%$$,被原本在国内票选中,排名第六的牛顿挤下第一的宝座,成为第二名。

统计结果全球各地的BBC听众,出现着的区域性差异。赛普勒斯、爱沙尼亚、荷兰与印度的BBC听众多半将票给牛顿。阿根廷和南非的观众则选黛安娜王妃。法国、义大利与前南斯拉夫偏爱莎士比亚。达尔文的得票多半来自德国听众。前披头四合唱团歌手蓝侬的票,则主要来自巴西。

由上百万的听众与观众来票选,规模可说相当大。两次票选,第一次排第六的,第二次可排第一;第一次得票 $$44.7\%$$,第二次则仅得 $$16\%$$。各地区的投票行为差异很大,造成针对英国与针对全球听众来票选,结果大不相同。对人的调查,可说是最不容易的。有时随着情况的改变,或某些重大事件的发生,也会影响一些人的想法。问此两次调查结果有很大差异,其实并不足为奇。 

连结:抽样调查(4)抽样误差

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